Question

（难应用举例）已知向量

AB

=(2-k，-1)，

AC

=(1，k)．
（1）若△ABC为直角三角形，求k值；
（2）若△ABC为等腰直角三角形，求k值．

Answer 1

分析：（1）先表示出向量

BC

，对A、B、C分别为直角进行讨论即可．
（2）对（1）中解出的k的值进行讨论，分别验证是否为等腰三角形．

解答：解：（1）

AB

=(2-k，-1)，

AC

=(1，k)?

BC

=

AC

-

AB

=(k-1，k+1)
①若∠A=90°，则

AB

⊥

AC

?（2-k，-1）•（1，k）=0，∴k=1；
②若∠B=90°，则

AB

⊥

BC

?（2-k，-1）•（k-1，k+1）=0，得k²-2k+3=0无解；
③若∠C=90°，则

AC

⊥

BC

?（1，k）•（k-1，k+1）=0，得k²+2k-1=0，
∴k=-1±

2

．
综上所述，当k=1时，△ABC是以A为直角顶点的直角三角形；
当k=-1±

2

时，△ABC是以C为直角顶点的直角三角形．
（2）①当k=1时，

AB

=(1，-1)，

AC

=(1，1)?|

AB

|=|

AC

|=

2

；
②当k=-1+

2

时，

AC

=(1，-1+

2

)，

BC

=(-2+

2

，

2

)，
得|

AC

|=

4-2 2

，|

BC

|=

8-4 2

，|

AC

|≠|

BC

|；
③当k=-1-

2

时，

AC

=(1，-1-

2

)，

BC

=(-2-

2

，

2

)，
得|

AC

|=

4+2 2

，|

BC

|=

8+4 2

，|

AC

|≠|

BC

|；
综上所述，当k=1时，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形．

点评：本题主要考查向量垂直和点乘之间的关系，即两向量互相垂直则二者点乘为0．