Question

学校食堂改建一个开水房，计划用电炉或煤炭烧水，但用煤时也要用电鼓风及时排气，用煤烧开水每吨开水费用为S元，用电炉烧开水每吨开水费用为P元，S=5y+0.2x+5，，其中y为每吨煤的价格，x为每百度电的价格．如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用，则仍用原备的锅炉烧水，否则就用电炉烧水．
（1）如果两种方法烧水费用相同，试将每吨煤的价格y表示为每百度电价x的函数；
（2）如果每百度电价不低于60元，则用煤烧时每吨煤的最高价是多少？

Answer 1

解：（1）若两种方法烧水费用相同，即S=P，
即…（2分）
得…（4分）
（定义域不写或写错，扣1分）
（2）当x≥60时，60≤x≤76 …（6分）
设，则0≤t≤4…（8分）
由题意知，y≤2（76-t²）+4t-1=-2（t-1）²+153…（10分）
（写y=2（76-t²）+4t-1=-2（t-1）²+153，扣1分）
当t=1即x=75时，y_max=153． …（12分）
答：用煤烧时每吨煤的最高价是153元．…（14分）（不答扣2分）
分析：（1）由已知中用煤烧开水每吨开水费用为S元，用电炉烧开水每吨开水费用为P元，S=5y+0.2x+5，，根据两种方法烧水费用相同，即S=P，可得整理可得答案；
（2）如果每百度电价不低于60元，结合（1）中x的取值范围，利用换元法，将函数转化为一个二次型函数的形式，进而根据二次型函数的图象与性质，即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，二次函数的性质，其中（1）的关键是由两种方法烧水费用相同，即S=P，得到两个变量的关系式，（2）的关键是利用换元法将函数的解析式，化为二次型函数的形式，解答时要注意实际情况对自变量x的取值范围的限制．