Question

已知两点M（-5，0），N（5，0），若直线上存在点P使|PM|-|PN|=6，则称该直线为B型直线，给出下列直线：
①y=x+1
②y=2  
③y=

4

3

x 
④y=2x+1
其中为B型直线的是（　　）

A．①③

B．③④

C．①②

D．②④

Answer 1

分析：根据双曲线的定义，可得点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线，由此算出双曲线的方程为

x2

9

-

y2

16

=1．再分别判断双曲线与四条直线的位置关系，可得只有①②的直线上存在点P满足B型直线的条件，由此可得答案．

解答：解：∵点M（-5，0），N（5，0），点P使|PM|-|PN|=6，
∴点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线
可得b²=c²-a²=5²-3²=16，双曲线的方程为

x2

9

-

y2

16

=1
∵双曲线的渐近线方程为y=±

4

3

x
∴直线y=

4

3

x与双曲线没有公共点，
直线y=2x+1经过点（0，1）斜率k＞

4

3

，与双曲线也没有公共点
而直线y=x+1、与直线y=2都与双曲线

x2

9

-

y2

16

=1有交点
因此，在y=x+1与y=2上存在点P使|PM|-|PN|=6，满足B型直线的条件
只有①②正确
故选：C

点评：本题给出“B型直线”的定义，判断几条直线是否为B型直线，着重考查了双曲线的定义标准方程、直线与双曲线的位置关系等知识，属于基础题．