Question

如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.

（1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD；

（2）求MN的长；

（3）求异面直线AN与CM所成角的余弦值.

Answer 1

（1）证明略（2）MN的长为a.    （3）异面直线AN与CM所成角的余弦值为

解析:

（1）设=p, =q，=r.

由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.

=-=（+）-

=（q+r-p），                                                                                                       2分

∴·=（q+r-p）·p

=（q·p+r·p-p²）

=（a²·cos60°+a²·cos60°-a²）=0.

∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD.                                                                              4分

（2）由（1）可知=（q+r-p）

∴||²=²=（q+r-p）²                                                                                  6分

=［q²+r²+p²+2（q·r-p·q-r·p）］

=[a²+a²+a²+2（--）

=×2a²=.

∴||=a,∴MN的长为a.                                                                            10分

(3)  设向量与的夹角为.

∵=(+)=(q+r),

=-=q-p,

∴·=（q+r）·（q-p）

=（q²-q·p+r·q-r·p）

=(a²-a²·cos60°+a²·cos60°-a²·cos60°)

=（a²-+-）=.                                                                                   12分

又∵||=||=，

∴·=||·||·cos

=··cos=.

∴cos=，                                                                                                   14分

∴向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.