Question

已知

OF

=（c，0）（c＞0），

OG

=（n，n）（n∈R），|

FG

|的最小值为1，若动点P同时满足下列三个条件：
①|

PF

|=

c

a

|

PE

|（a＞c＞0）；
②

PE

=λ

OF

 （其中

OE

=（

a2

c

，t），λ≠0，t∈R）；
③动点P的轨迹C经过点B（0，-1）．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求曲线C的方程；
（Ⅲ）是否存在方向向量为a=（1，k）（k≠0）的直线l，使l与曲线C交于两个不同的点M、N，且|

BM

|=|

BN

|？若存在，求出k的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）：由向量模的公式得出|

FG

|=

(n-c)2+n2

=

2(n- c 2 )2+ c2 2

，利用二次函数的性质得出其最小值，从而求得c值．
（Ⅱ）先根据条件得到：|

PF

|=

c

a

|

PE

|（a＞c＞0）．从而得出点P在以F为焦点，x=

a2

c

为准线的椭圆上，从而

(x- 2 )2+y2

=

2

a

|

a2

2

-x|，最后将点B（0-1）代入，解得a即可写出曲线C的方程；
（Ⅲ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在方向向量为a₀=（1，k）（k≠0）的直线l满足条件，则可设l：y=kx+m（k≠0），再利用△ABC为正三角形，求出CD的长，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
假设存在方向向量为a₀=（1，k）（k≠0）的直线l满足条件，则可设l：y=kx+m（k≠0），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系结合垂直关系即可求得k的范围，从而解决问题．

解答：解：（Ⅰ）：|

FG

|=

(n-c)2+n2

=

2(n- c 2 )2+ c2 2

，
当n=

c

2

时，|

FG

|_min=

c2 2

=1，所以c=

2

．（3分）
（Ⅱ）∵

PE

=λ

OF

 （λ≠0），∴PE⊥直线x=

a2

c

，又|

PF

|=

c

a

|

PE

|（a＞c＞0）．
∴点P在以F为焦点，x=

a2

c

为准线的椭圆上．（5分）
设P（x，y），则有

(x- 2 )2+y2

=

2

a

|

a2

2

-x|，点B（0-1）代入，解得a=

3

．
∴曲线C的方程为 

x2

3

+y²=1                                       （7分）
（Ⅲ）假设存在方向向量为a₀=（1，k）（k≠0）的直线l满足条件，则可设l：y=kx+m（k≠0），
与椭圆

x2

3

+y²=1联立，消去y得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．（10分）
由判别式△＞0，可得m²＜3k²+1．①
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点P（x₀，y₀），由|BM|=|BN|，则有BP⊥MN．
由韦达定理代入k_BP=-

1

k

，可得到m=

1+3k2

2

               ②
联立①②，可得到  k²-1＜0，（12分）
∵k≠0，∴-1＜k＜0或0＜k1．
即存在k∈（-1，0）∪（0，1），使l与曲线C交于两个不同的点M、N，且|

BM

|=|

BN

|．（14分）z

点评：本小题主要考查向量在几何中的应用、直线与圆锥曲线的综合问题，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．