Question

（2012•潍坊二模）如图，已知F（2，0）为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点，AB为椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦），线段OF的垂直平分线与椭圆相交于两点C、D，且∠CAD=90°．
（I）求椭圆的方程；
（II）设过点F斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆相交于两点P、Q．若存在一定点E（m，0），使得x轴上的任意一点（异于点E、F）到直线EP、EQ的距离相等，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可把A、C、D的坐标用含有a，b的代数式表示，由∠CAD=90°，得到

AC

•

AD

=0，代入坐标可得关于a，b的方程，结合a²=b²+4可求解a，b的值，则椭圆方程渴求；
（Ⅱ）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和与积，由定点E（m，0）使得x轴上的任意一点（异于点E、F）到直线EP、EQ的距离相等得到k_EP+k_EQ=0，由两点写出斜率代入后再把两根的和与积代入即可求得m的值．

解答：解：（Ⅰ）F（2，0），则A(2，

b2

a

)，C(1，y0)，D(1，-y0)，其中y0=

b a2-1

a

．
所以

AC

=(-1，y0-

b2

a

)，

AD

=(-1，-y0-

b2

a

)．
因为∠CAD=90°，所以

AC

•

AD

=0．
所以1=y02-

b4

a2

，即

b2(a2-1)

a2

-

b4

a2

=1，
联立a²=b²+4解得a²=6，所以b²=2．
可得椭圆方程为

x2

6

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线l的方程为y=k（x-2）（k≠0）．
由

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-2)

，得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0．
所以x1+x2=

12k2

1+3k2

，x1x2=

12k2-6

1+3k2

．
根据题意，x轴平分∠PEQ，则直线EP，EQ的倾斜角互补，即k_EP+k_EQ=0．
设E（m，0），则有

y1

x1-m

+

y2

x2-m

=0．（当x₁=m或x₂=m时不合题意）
将y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2）代入上式，得

k(x1-2)

x1-m

+

k(x2-2)

x2-m

=0．
又k≠0，所以

x1-2

x1-m

+

x2-2

x2-m

=0．
即

(x1-2)(x2-2)+(x2-2)(x1-m)

(x1-m)(x2-m)

=0．
即

2x1x2-(m+2)(x1+x2)+4m

(x1-m)(x2-m)

=0，
∴2x₁x₂-（m+2）（x₁+x₂）+4m=0．
将x1+x2=

12k2

1+3k2

，x1x2=

12k2-6

1+3k2

代入，解得m=3．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法及学生的运算能力，解答的关键是计算的准确性，是有一定难度题目．