Question

（2012•潍坊二模）①函数y=sin(x-

π

2

)在[0，π]上是减函数；
②点A（1，1）、B（2，7）在直线3x-y=0两侧；
③数列{a_n}为递减的等差数列，a₁+a₅=0，设数列{a_n}的前n项和为S_n，则当n=4时，S_n取得最大值；
④定义运算

.

a1 b1

a2 b2

.

=a1b2-a2b1则函数f(x)=

.

x2+3x x

1 1 3 x

.

的图象在点(1，

1

3

)处的切线方程是6x-3y-5=0．
其中正确命题的序号是

②④

（把所有正确命题的序号都写上）．

Answer 1

分析：①，利用诱导公式将y=sin（x-

π

2

）转化为y=-cosx，利用余弦函数的单调性即可判断其正误；
②，将A（1，1）、B（2，7）的坐标分别代入3x-y，观察乘积的符号即可判断；
③，由题意结合等差数列的性质可判断③的正误；
④，依题意可求得f（x）的解析式，从而可求得在点（1，

1

3

）处的切线方程，继而可作出判断；

解答：解：①，∵y=sin（x-

π

2

）=-cosx，在[0，π]上是增函数，故①错误；
②，将A（1，1）、B（2，7）的坐标分别代入3x-y得（3×1-1）•（3×2-7）=-2＜0，故点A（1，1）、B（2，7）在直线3x-y=0两侧，即②正确；
③，∵数列{a_n}为递减的等差数列，a₁+a₅=0，又a₁+a₅=2a₃，
∴2a₃=0，
故当n=2或3时S_n取得最大值，故③错误；
④，∵

.

a1 a2 b1 b2

.

=a₁b₂-a₂b₁，
∴f（x）=

.

x2+3x 1 x 1 3 x

.

=

1

3

x³+x²-x，
∴[f′（x）]|_x=1=（x²+2x-1）|_x=1=2，
∴f（x）的图象在点（1，

1

3

）处的切线方程为：y-

1

3

=2（x-1），整理得：6x-3y-5=0，故④正确；
综上所述，正确答案为②④．
故答案为：②④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数、平面区域、等差数列、及函数与导数等知识，属于中档题．