Question

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）求证：EF⊥B₁C；
（3）求三棱锥VB1-EFC的体积．

Answer 1

（1）证明：连接BD₁，如图，在△DD₁B中，E、F分别为D₁D，DB的中点，则

EF∥D1B D1B?平面ABC1D1 EF?平面ABC1D1

⇒EF∥平面ABC₁D₁．
（2）

B1C⊥AB B1C⊥BC1 AB，B1C?平面ABC1D1 AB∩BC1=B

⇒

B1C⊥平面ABC1D1 BD1?平面ABC1D1

⇒

B1C⊥BD1 EF∥BD1

⇒EF⊥B1C
（3）∵CF⊥平面BDD₁B₁，∴CF⊥平面EFB₁且CF=BF=

2

，
∵EF=

1

2

BD1=

3

，B1F=

BF2+BB12

=

( 2 )2+22

=

6

，
B1E=

B1D12+D1E2

=

12+(2 2 )2

=3
∴EF²+B₁F²=B₁E²即∠EFB₁=90°，
∴VB1-EFC=VC-B1EF=

1

3

•S△B1EF•CF
=

1

3

×

1

2

•EF•B1F•CF=

1

3

×

1

2

×

3

×

6

×

2

=1