Question

已知定点A（1，0），定直线l：x=5，动点M（x，y）
（1）若M到点A的距离与M到直线l的距离之比为

5

5

，试求M的轨迹曲线C₁的方程；
（2）若曲线C₂是以C₁的焦点为顶点，且以C₁的顶点为焦点，试求曲线C₂的方程；
（3）是否存在过点F（

5

，0）的直线m，使其与曲线C₂交得弦|PQ|长度为8呢？若存在，则求出直线m的方程；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题设条件，根据椭圆定义：M的轨迹为椭圆，其中c=1，e=

c

a

=

5

5

，由此能求出C₁轨迹方程．
（2）由C₁的焦点为：（1，0），（-1，0），C₁的顶点为：（

5

，0），（-

5

，0）由题意可知：C₂为双曲线，由此能求出C₂轨迹方程．
（3）当直线m的斜率不存在时，m的方程为：x=

5

，它与C₂：x²-

y2

4

=1交于P（

5

，-4）和Q（

5

，4），得到得弦|PQ|=8．当直线m的斜率存在时，m的方程为y=k（x-

5

），联立方程组  

5y=k(x- 5 ) x2- y2 4 =1

，消去y，整理得(4-k2)x2+2

5

k2x-5k2-4=0，由弦长公式能求出直线m的方程．

解答：解：（1）∵定点A（1，0），定直线l：x=5，动点M（x，y），
M到点A的距离与M到直线l的距离之比为

5

5

，
∴根据椭圆定义：M的轨迹为椭圆，
其中c=1，e=

c

a

=

5

5

，
∴a=

5

∴b=

5-1

=2
∴则C₁轨迹方程为：

x2

5

+

y2

4

=1．
（2）∵C₁轨迹方程为：

x2

5

+

y2

4

=1，
∴C₁的焦点为：（1，0），（-1，0），C₁的顶点为：（

5

，0），（-

5

，0）
由题意可知：C₂为双曲线
则a′=1，c'=

5

，
则b′=

5-1

=2，
∴C₂轨迹方程为：x²-

y2

4

=1．
（3）当直线m的斜率不存在时，m的方程为：x=

5

，
它与C₂：x²-

y2

4

=1交于P（

5

，-4）和Q（

5

，4），得到得弦|PQ|=8．
当直线m的斜率存在时，m的方程为y=k（x-

5

），
联立方程组  

5y=k(x- 5 ) x2- y2 4 =1

，消去y，
整理得(4-k2)x2+2

5

k2x-5k2-4=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

2 5 k2

k2-4

，x1x2=

4+5k2

k2-1

，
∵弦|PQ|长度为8，∴

(1+k2)[( 2 5 k2 k2-4 )2- 16+20k2 k2-4 ]

=8，
解得k=±

6

2

，
∴直线m的方程为x=

5

或y=±

6

2

（x-

5

）．

点评：本题考查椭圆和双曲线方程的求法，考查弦长公式的应用．易错点是容量忽视直线的斜率不存在的解．解题时要认真审题，仔细解答．