【题目】已知向量a＝(cos2ωx－sin2ωx，sinωx)，b＝(
，2cosωx)，设函数f(x)＝a·b(x∈R)的图象关于直线x＝
对称，其中ω为常数，且ω∈(0，1)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若将y＝f(x)图象上各点的横坐标变为原来的
，再将所得图象向右平移
个单位，纵坐标不变，得到y＝h(x)的图象，若关于x的方程h(x)＋k＝0在
上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
【答案】（1）T＝6π；单调递增区间为
，k∈Z.（2）{k|
或k＝－2}．
【解析】
（1）先利用平面向量的数量积定义和二倍角公式、辅助角公式得到
，再利用对称性求出
值，再利用三角函数的性质进行求解；（2）先利用三角函数图象变换得到
，再令
，利用三角函数的图象和数形结合思想进行求解.
(1)f(x)＝a·b＝
(cos2ωx－sin2ωx)＋2sinωxcosωx
＝cos2ωx＋sin2ωx＝2sin
.
∵直线x＝
是y＝f(x)的图象的一条对称轴，
∴
(k∈Z)，即ω＝k＋
(k∈Z)．
又ω∈(0，1)，∴ω＝，f(x)＝2sin
，
∴T＝6π.
令
，k∈Z，得
，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由（1）得f(x)＝2sin，将y＝f(x)图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移
个单位，纵坐标不变，得到y＝2sin
的图象，∴h(x)＝2sin.
令
＝t，∵0≤x≤
，∴－≤t≤
，
方程h(x)＋k＝0在
上有且只有一个实数解，
即方程2sint＋k＝0在
上有且只有一个实数解，
亦即y＝2sint，t∈的图象与直线y＝－k有且只有一个交点，
画出图象分析可知－≤－k＜或－k＝2，即或k＝－2.
故实数k的取值范围是{k|或k＝－2}．
孟建平错题本系列答案
超能学典应用题题卡系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】定义域为
的函数
满足：对于任意的实数
都有
成立，且当
时， 
恒成立，且
是一个给定的正整数）．
（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（2）判断并证明的单调性；若函数在
上总有
成立，试确定
应满足的条件；
（3）当
时，解关于
的不等式
．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准（
）》于
年
月
日正式实施.车辆驾驶人员酒饮后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，
喝瓶啤酒的情况
且图表示的函数模型
，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：
，
）
（ ）
驾驶行为类型 | 阀值 |
饮酒后驾车 |
|
醉酒后驾车 |
|
车辆驾车人员血液酒精含量阀值
A.
B.
C.D.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】下列命题：①集合
的子集个数有
个；②定义在
上的奇函数
必满足
；③
既不是奇函数又不是偶函数；④偶函数的图像一定与
轴相交；⑤
在
上是减函数，其中真命题的序号是 ______________（把你认为正确的命题的序号都填上）.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某品牌新款夏装即将上市，为了对新款夏装进行合理定价，在该地区的三家连锁店各进行了两天试销售，得到如下数据：
连锁店 |
|
|
| |||
售价 | 80 | 86 | 82 | 88 | 84 | 90 |
销量 | 88 | 78 | 85 | 75 | 82 | 66 |
（1）分别以三家连锁店的平均售价与平均销量为散点，求出售价与销量的回归直线方程
；
（2）在大量投入市场后，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该夏装成本价为40元/件，为使该新夏装在销售上获得最大利润，该款夏装的单价应定为多少元？（保留整数）
附：
，
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某商品要了解年广告费
（单位：万元）对年利润
（单位：万元）的影响，对近4年的年广告费
和年利润
数据作了初步整理，得到下面的表格：
广告费 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年利润 | 26 | 39 | 49 | 54 |
（Ⅰ）用广告费作解释变量，年利润作预报变量，建立关于的回归直线方程；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果预报广告费用为6万元时的年利润.
附：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
.
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