Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求在上的值域；

（2）求在区间的最小值，并求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）[﹣5，20)；（2）g（a），g（a）的最大值为．

【解析】

（1）函数在(﹣3，2）上单调递减，在（2，3]上单调递增，可得函数f（x）在区间(﹣3，3]上的值域；

（2）由于二次函数的对称轴为x＝1﹣a，分①当1﹣a﹣3、②当﹣3<1﹣a<3、③当1﹣a≥3三种情况，分别利用二次函数的性质求得函数的最小值g（a）并利用一次函数、二次函数的性质求解g（a）的最大值．

（1）当a＝﹣1时，f（x）＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，

函数在（﹣3，2）上单调递减，在（2，3]上单调递增，

∴x＝2，f（x）＝﹣5，x＝﹣3，f（x）＝20，x＝3，f（x）＝﹣4，

∴函数f（x）在区间[﹣3，3]上的值域是[﹣5，20)；

（2）∵函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+a＝[x+（a﹣1）]2﹣1+3a﹣a2 的对称轴为x＝1﹣a，

①当1﹣a≤﹣3，即a≥4时，函数y在[﹣3，3]上是增函数，

当x＝﹣3时，函数y取得最小值为15﹣5a；

②当﹣3<1﹣a＜3，即﹣2＜a<4时，当x＝1﹣a时，函数y取得最小值为﹣1+3a﹣a2；

③当1﹣a≥3，即a≤﹣2时，函数y在[﹣3，3]上是减函数，故当x＝3时，数y取得最小值为3+7a．

综上，

g（a），

又当a≥4时，g（a）15﹣5a≤﹣5，当﹣2＜a<4时，g（a）﹣1+3a﹣a2，当a≤﹣2时，g（a）≤﹣11，

综上g（a）的最大值为．