Question

【题目】对于定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数，”生成的.

（1）若函数是“基函数，”生成的，求实数的值；

（2）试利用“基函数，”生成一个函数，且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为.求函数的解析式.

Answer 1

【答案】(1) . (2)

【解析】

（1）根据基函数的定义列方程，比较系数后求得的值.（2）设出的表达式，利用为偶函数，结合偶函数的定义列方程，化简求得，由此化简的表达式，构造函数，利用定义法证得在上的单调性，由此求得的最小值，也即的最小值，从而求得的最小值，结合题目所给条件，求出的值，即求得的解析式.

解：（1）由已知得，

即，

得，所以.

（2）设，则.

由，得，

整理得，即，

即对任意恒成立，所以.

所以

.

设，，令，则，

任取，且

则，

因为，且

所以，，，故

即，所以在单调递增，

所以，且当时取到“”.

所以，

又在区间的最小值为，

所以，且，此时，

所以