Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点，若PA=AD=3,CD=
①求证：AF∥平面PCE
②求证：平面PCE⊥平面PCD
③求直线FC与平面PCE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：①取PC中点G，连接EG，FG；又由F为PD中点
∴FGCD
又∵AECD
∴FGAE，即可得四边形AEFG是平行四边形
∴AF∥EG
又AF平面PCE，EG平面PCE
∴AF∥平面PCE
②∵PA⊥平面ABCD
∴平面PAD⊥平面ABCD
∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又AF在面PAD内
∴CD⊥AF
∵PA=AD，F为PD中点
∴AF⊥PD，又∵PD∩CD=D
∴AF⊥平面PCD
又∵EG∥AF
∴EG⊥平面PCD
又∵EG平面PCE
∴平面PCE⊥平面PCD
③在平面PCD内作FH⊥PC，则FH⊥平面PCE
∴∠FCH是FC与平面PCE所成的角
在△FCH中，，∴sin
∴直线FC与平面PCE所成角的正弦值为
【解析】①根据有中点找中点做出辅助线，得到三组线线平行，得到四边形是一个平行四边形，得到线线平行，根据线面平行的判断得到结论．
②要证明面面垂直，根据证明面面垂直的判断需要找一条和两个平面垂直的一条直线，根据线面垂直的判断和性质，得到结论．
③在平面PCD内作FH⊥PC，则FH⊥平面PCE，得到∠FCH是FC与平面PCE所成的角，在这个可解的三角形中，求出角的正弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用向量语言表述面面的垂直、平行关系的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证;要证，只需证，即证．