Question

【题目】已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1 ， l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接RF，PF，

由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=180°，

∴∠PFQ=90°，

∵R是PQ的中点，

∴RF=RP=RQ，

∴△PAR≌△FAR，

∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，

∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，

∴∠FQB=∠PAR，

∴∠PRA=∠PRF，

∴AR∥FQ

（2）

A（x1，y1），B（x2，y2），

F（ ，0），准线为 x=﹣ ，

S△PQF= |PQ|= |y1﹣y2|，

设直线AB与x轴交点为N，

∴S△ABF= |FN||y1﹣y2|，

∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，

∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）．

设AB中点为M（x，y），由 得 =2（x1﹣x2），

又 = ，

∴ = ，即y2=x﹣1．

∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．

【解析】（1）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PRF，即可证明AR∥FQ；（2）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．