Question

（本小题满分14分）

已知动圆过定点，且与直线相切.

 

(1)求动圆的圆心轨迹的方程；

(2) 是否存在直线:，并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) ；(2)。

【解析】

试题分析：（1）如图，设为动圆圆心， ，过点作直线的垂线垂足为，

由题意知：         ………………3分

即动点到定点与到定直线的距离相等，

由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点,为准线，

∴动圆圆心的轨迹方程为    …………6分

（2）直线的方程为

由得   ………8分

， 且………9分

设，，，

则，…11分

由，有，…12分

即，解得 …………13分

所以存在合乎题意的直线且直线方程为  …………14分

考点：抛物线的定义；轨迹方程的求法；直线与抛物线的综合应用。

点评：求轨迹方程的一般方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。本题求轨迹方程用到的是定义法。用定义法求轨迹方程的关键是条件的转化——转化成某一已知曲线的定义条件。