Question

已知关于x的一元二次函数f（x）=b²x²-（a+1）x+1．
（Ⅰ）若a，b分别表示将一覆盖质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求y=f（x）恰有一个零点的概率；
（Ⅱ）若a，b∈[1，6]，求满足y=f（x）的零点的概率．

Answer 1

考点：几何概型,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）求出y=f（x）恰有一个零点等价条件，利用古典关系的概率公式即可得到结论；
（Ⅱ）利用几何概型的概率公式即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）设（a，b）表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），…，（6，5），（6，6），共36个．
用A表示事件“y=f（x）恰有一个零点”，即△=（a+1）²-4b²=0，
则a+1=2b．
则A包含的基本事件有（1，1），（3，2），（5，3），共3个．
∴P(A)=

3

36

=

1

12

．
答：事件“y=f（x）恰有一个零点”的概率为

1

12

．
（Ⅱ）用B表示事件“y=f（x）有零点”，即a+1≥2b．
试验的全部结果所构成的区域为{（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6}，
构成事件B的区域为{（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6，x-2y+1＞0}，
所以所求的概率为P(B)=

1 2 ×5× 5 2

5×5

=

1

4

．
答：事件“y=f（x）有零点”的概率为

1

4

．

点评：本题主要考查几何概型和古典概型的概率的计算，要求熟练掌握相应的概率公式．