Question

（14分）如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA＝AD＝a．

（1）求证：MN∥平面PAD；

（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．

 

Answer 1

【答案】

见解析。

【解析】

试题分析：证明：如答图所示

⑴设PD的中点为E，连结AE、NE，

由N为PD的中点知ENDC，

又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB

又M是AB的中点，∴ENAN，

∴AMNE是平行四边形

∴MN∥AE，而AE平面PAD，NM平面PAD

∴MN∥平面PAD

证明：⑵∵PA＝AD，∴AE⊥PD，

又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥AE， ∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD，

∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，

又MN平面PMC，

∴平面PMC⊥平面PCD.

考点：本题主要考查四棱锥的特征、点线面关系重大平行与垂直，考查空间想象能力及逻辑推理论证能力。

点评：证明空间问题注意转化成平面问题，充分利用平面图形的特征，这是立体几何中的基本问题。