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一剪刀剪出一条正弦曲线.

把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上,卷上几圈.用剪刀斜着将纸筒剪断,再把卷着的纸展开,你就会看到:纸的边缘线是一条波浪形的曲线.

    你知道吗?这条曲线就是正弦曲线!请你来证明这一事实.

证明:如图(1),设纸筒底面半径为1单位长,截面(椭圆面)与底面所成的二面角为θ(定值),截口的中心为O′.

(1)

过O′作圆柱的直截面,交截口曲线于两点.取其中一点为O,在过点O且与圆柱侧面相切的平面内,以点O为坐标原点建立直角坐标系,使得Oy轴是圆柱的一条母线.

设点P是截口曲线上任意一点,点Q是点P在⊙O′所在平面内的射影,过Q作QH⊥O′O,垂足为H,连结PH,则∠PHQ是截面与底面所成二面角的平面角,所以∠PHQ=θ.又设∠QO′O=α(变量).

在图(2)中,设P点坐标为(x,y),以下分别计算P点的横坐标和纵坐标.

(2)

x=OQ′==α,y=Q′P=QP=QH·tanθ,

而在Rt△QHQ′中,QH=sinα,所以y=tanθ·sinα.

令A=tanθ(定值),则有y=Asinα.

这就证明了截口曲线是一条正弦曲线.

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