Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，且F是CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求四面体BCEF的体积．

Answer 1

（1）证明：取EC中点G，连BG，GF．
∵F是CD的中点，∴FG∥DE，且FG=

1

2

DE．
又∵AB∥DE，且AB=

1

2

DE．
∴四边形ABGF为平行四边形．…（3分）
∴AF∥BG．
又BG?平面BCE，AF?平面BCE．
∴AF∥平面BCE．           …（5分）
（2）证明：∵AB⊥平面ACD，AF?平面ACD，
∴AB⊥AF．
∵AB∥DE，∴AF⊥DE．    …（6分）
又∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．    …（7分）
∵BG∥AF，∴BG⊥DE，BG⊥CD．     …（8分）
∵CD∩DE=D，∴BG⊥平面CDE．  　 …（9分）
∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE；    …（11分）
（3）四面体BCEF的体积V=

1

3

S△CFE?BG=

1

3

×

1

2

CF?DE?AF=

1

3

×

1

2

×1×2?

3

=

3

3

．  …（14分）