Question

椭圆C：的左右焦点分别是F₁，F₂，离心率为，过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF₁，PF₂，设∠F₁PF₂的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF₁，PF₂的斜率分别为k₁，k₂，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把-c代入椭圆方程得，解得，由已知过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，可得．再利用，及a²=b²+c²即可得出；
（2）设|PF₁|=t，|PF₂|=n，由角平分线的性质可得，利用椭圆的定义可得t+n=2a=4，消去t得到，化为，再根据a-c＜n＜a+c，即可得到m的取值范围；
（3）设P（x，y），不妨设y＞0，由椭圆方程，取，利用导数即可得到切线的斜率，再利用斜率计算公式即可得到k₁，k₂，代入即可证明结论．
解答：解：（1）把-c代入椭圆方程得，解得，
∵过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴．
又，联立得解得，
∴椭圆C的方程为．
（2）如图所示，设|PF₁|=t，|PF₂|=n，
由角平分线的性质可得，
又t+n=2a=4，消去t得到，化为，
∵a-c＜n＜a+c，即，也即，解得．
∴m的取值范围；．
（3）证明：设P（x，y），
不妨设y＞0，由椭圆方程，
取，则=，
∴k==．
∵，，
∴=，
∴==-8为定值．
点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、角平分线的性质、利用导数的几何意义研究切线、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．