Question

如图2-5-7所示,有两条相交成60°的直线xx₁、yy₁,交点为O.甲、乙分别在Ox、Oy₁上,起初甲位于离O点3 km的A处,乙位于离O 1 km的B处.后来两个人同时用每小时4 km的速度,甲沿xx₁的方向,乙沿yy₁的方向运动.

(1)起初两个人的距离是多少?

(2)什么时候两人的距离最近?(△ABC的三边长为a，b，c，则有如下结论：b²=a²+c²-2accosB)

图2-5-7

Answer 1

解：(1)起初两人分别在A、B两点,则||=3,||=1.

∴||=||²+||²-2||||cos60°=9+1-2×3×1×=7.

∴||= km,即起初两人相距 km.

(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，

则||=4t,||=4t,

又∵甲沿xx₁的方向,乙沿yy₁的方向运动，

∴当0≤t≤时，

||²=(3-4t)²+(1+4t)²-2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t²-24t+7；

当t＞时,

||²=(3-4t)²+(1+4t)²-2(3-4t)(1+4t)cos120°=48t²-24t+7(t＞0).

综上,||²=48t²-24t+7=48(t)²+4,t∈［0,+∞).

∴当t=,即在第15分钟末时,PQ最短,两人最近,最近距离为2 km.