Question

设f（x）=4x²-1，g（x）=-2x+1
（1）若关于x的方程f（2^x）=2^g（x）+m有负实数根，求m的取值范围；
（2）若F（x）=af（x）+bg（x）（a，b都为常数，且a＞0）
①证明：当0≤x≤1时，F（x）的最大值是|2a-b|+a；
②求证：当0≤x≤1时，F（x）+|2a-b|+a≥0．

Answer 1

【答案】分析：（1）x＜0，设2^x=t，则t∈（0，1），，问题转化为求4-1值域，由此可解；
（2）F（x）=4ax²-2bx+b-a的对称轴，①分两种情况讨论：当时，当时，；
②即求证F（x）_min+|2a-b|+a≥0，按、、三种情况讨论求出F（x）_min即可；
解答：解：（1）当x＜0时，设2^x=t，则t∈（0，1），，
∵，∴m＜1．
故m的取值范围为（-∞，1）．
（2）证明：F（x）=4ax²-2bx+b-a，对称轴，
①当即2a≥b时，F（x）_max=F（1）=3a-b，
当即2a＜b时，F（x）_max=F（0）=b-a，
故；
②即求证F（x）_min+|2a-b|+a≥0，，
当即b≤0时，F（x）_min+|2a-b|+a=F（0）+2a-b+a=2a＞0，
当即0＜b＜4a时，F（x）_min+|2a-b|+a=F（）+|2a-b|+a=，
∴F（x）_min+|2a-b|+a＞0，
当即b≥4a时，F（x）_min+|2a-b|+a=F（1）+b-a=2a＞0，
综上，当0≤x≤1时，F（x）+|2a-b|+a≥0．
点评：本题考查函数恒成立问题及二次函数最值问题，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力．