Question

已知数列{a_n}是首项为1，公比为

1

3

的等比数列．
（1）求a_n的表达式；
（2）如果b_n=（2n-1）a_n，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用等比数列的通项公式即可求得a_n；
（2）由（1）表示出b_n，利用错位相减法即可求得S_n；

解答：解：（1）∵{a_n}是首项为1，公比为

1

3

的等比数列，
∴an=(

1

3

)n-1；
（2）由（1）得，b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）(

1

3

)n-1，
∴S_n=1+3×

1

3

+5×(

1

3

)2+…+（2n-1）(

1

3

)n-1①，

1

3

Sn=

1

3

+3×(

1

3

)2+5×(

1

3

)3+(2n-1)•(

1

3

)n②，
①-②得，

2

3

Sn=1+2×

1

3

+2×(

1

3

)2+…+2×(

1

3

)n-1-(2n-1)•(

1

3

)n=1+2×

1 3 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-(2n-1)•(

1

3

)n=2-(

1

3

)n-1-(2n-1)•(

1

3

)n，
∴S_n=3-

n+1

3n-1

．

点评：本题考查等比数列的通项公式、数列求和，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．