Question

3．已知平面直角坐标系内，动点P（a，b）到直线l₁：y=$\frac{1}{2}$x和l₂：y=-2x的距离之和是4，求$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$的最小值．

Answer 1

分析 设动点P（a，b）到直线l₁：y=$\frac{1}{2}$x的距离为m，到直线l₂：y=-2x的距离为n，则m+n=4，利用基本不等式，即可得到$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$的最小值．

解答 解：设动点P（a，b）到直线l₁：y=$\frac{1}{2}$x的距离为m，到直线l₂：y=-2x的距离为n，则m+n=4，
∵m²+n²≥2mn，
∴2（m²+n²）≥（m+n）²=16，
∴m²+n²≥8
∵直线l₁：y=$\frac{1}{2}$x和l₂：y=-2x垂直且过原点，
∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$≥2$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$的最小值为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了点到直线的距离公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．