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已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线L:mx-y+1-m=0
(1)求证:对任意m∈R,直线L与圆C总有两个不同的交点;
(2)设L与圆C交与A,B两点,求弦AB的中点M的轨迹方程;
(3)P(1,1)为弦AB上点,且
|AP|
|PB|
=
1
2
,求此时L的方程.
分析:(1)将直线l的方程变形提出m,根据直线方程的斜截式,求出直线恒过点(1,1),将(1,1)代入圆方程的左边,判断出点在圆内部,得证.
(2)将直线l的方程与圆的方程联立,利用韦达定理得到两个交点坐标的和,利用中点坐标公式求出AB的中点,消去m得到弦AB的中点M的轨迹方程;
(3)作出辅助线,利用圆的弦割线定理求出PA的长,求出A的坐标,又直线过(1,0)点,利用直线方程的两点式写出直线的方程.
解答:解:(1)∵直线L:mx-y+1-m=0即为y=m(x-1)+1
∴直线l恒过(1,1)
∵12+(1-1)2=1<5
∴(1,1)在圆C:x2+(y-1)2=5的内部
综上,对任意的m∈R,直线L与圆C一定有两个不同的交点
(2)圆C:x2+(y-1)2=5  ①
直线l:mx-y+1-m=0②
联立①②得
(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0
x1+x2=
2m2
1+m2
y1+y2=
2(m2- m+1)
1+m2

设弦AB的中点M为(x,y)则有
x=
m2
1+m2
y= 
(m2- m+1)
1+m2

则y=1-
m
1+m2

m
1+m2
=1-y,
m2
1+m2
=x两式相除得,m=
x
1-y

代入第一式即消去m得到x2+y2-x-2y+1=0
故弦AB的中点M的轨迹方程为x2+y2-x-2y+1=0
(3)∵直线l:mx-y+1-m=0,y-1=m(x-1),
∴直线l过定点(1,1).
作平行于x轴,且过圆心(0,1)的直线,交圆于MN两点,
显然,PM=
5
-1
,PN=
5
+1

由弦割线定理,
PM
PA
=
PB
PN
,即PA•PB=PA•2PA=2PA2=PM•PN=(
5
-1)•(
5
+1)=4

∴PA2=2.
∵PA2=(x-1)2+(y-1)2=2,
又因为A点在圆上,A点坐标满足圆方程x2+(y-1)2=5,
联立方程组,解得,
x=2,
代入解得,y=0或2,
∴A(2,0)或A(2,2).
由两点确定直线,得,
y-1=
0-1
2-1
•(x-1)=-(x-1),得y+x-2=0直线一条;
y-1=
2-1
2-1
•(x-1)=x-1,得,y=x另一条直线.
∴此时L的方程为y+x-2=0或y=x
点评:判断直线与圆的位置关系,一般利用圆心与直线的距离与半径的大小关系加以判断,有时也可转化为直线恒过的点圆圆的位置关系;解决直线与圆的相交的弦的中点问题,一般将直线与圆的方程联立,利用韦达定理.
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(1)求证:直线l恒过定点;
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17
,求直线l的方程.

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(1)求证:对m∈R,直线l与C总有两个不同的交点;
(2)设l与C交于A、B两点,若|AB|=
17
,求l的方程;
(3)设l与C交于A、B两点且kOA+kOB=2,求直线l的方程.

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