Question

如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，点D是BC的中点，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA′=2，
（1）欲过点A′作一截面与平面AC'D平行，问应当怎样画线，写出作法，并说明理由；
（2）求异面直线BA′与 C′D所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取B′C′的中点E，连接A′E，BE，A′B，根据面面平行的判定定理证明平面AC′D∥平面A′BE；
（2）证明∠A′BE为异面直线BA′与 C′D所成角，解△A′BE，利用余弦定理求得∠A′BE的余弦值．

解答：解：（1）取B′C′的中点E，连接A′E，BE，A′B，
∵截面与平面AC'D平行，∴截面与平面BCC′B′的交线BE∥BC′，∵D是BC的中点，∴E是B′C′的中点；
∵A′E∥AD，∴A′E∥平面AC′D，又A′E∩BE=E，∴平面AC′D∥平面A′BE．
（2）∵BE∥DC′，∴∠A′BE为异面直线BA′与 C′D所成角，
∵∠ACB=90°，
∴在△A′BE中，BE=

17

2

，A′B=

6

，A′E=

5

2

，
∴cos∠A′BE=

BE2+A′B2-A′E2

2×BE×A′B

=

3 102

34

．

点评：本题考查了面面平行的性质与判定，考查了异面直线所成的角及求法，考查了学生的空间想象能力与运算能力，解题的关键是熟练掌握面面平行的判定定理与性质定理．