Question

（2013•天津）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为

8

3

．

Answer 1

分析：利用切割线定理求出EB，证明四边形AEBC是平行四边形，通过三角形相似求出CF即可．

解答：解：如图连结圆心O与A，因为过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．所以OA⊥AE，
因为AB=AC，AE=6，BD=5，∴OA⊥BC，AE∥BC．
梯形ABCD中，AC∥BD，BD=5，
由切割线定理可知：AE²=EB•ED=EB（EB+BD），所以EB=4，
AC∥BD，则AC∥BE，ACBE是平行四边形，∴EB=AC
可得四边形AEBC是平行四边形，所以AC=AB=4，BC=6．
△AFC∽△DFB，

AC

BD

=

CF

FB

即：

4

5

=

CF

6-CF

，
CF=

8

3

，
故答案为：

8

3

．

点评：本题考查圆的切割线定理，三角形相似，考查逻辑推理能力与计算能力．