Question

设AB是单位圆O的直径，N是圆上的动点，过点N的切线与过点A、B的切线分别交于D、C两点．四边形ABCD的对角线AC和BD的交点为G，求G的轨迹．

Answer 1

分析：要求G的轨迹，需建立直角坐标系，故以圆心O为原点，直径AB为x轴建立直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0），单位圆的方程为x²+y²=1，再设出N（cosθ，sinθ），从而得到DC的方程，从而有C、D的坐标与直线AC、BD的方程，继而可求得G的轨迹．

解答：解：以圆心O为原点，直径AB为x轴建立直角坐标系，
则A（-1，0），B（1，0），单位圆的方程为x²+y²=1，
设N的坐标为（cosθ，sinθ），则切线DC的方程为：xcosθ+ysinθ=1，
由此可得C（1，

1-cosθ

sinθ

），D（-1，

1+cosθ

sinθ

），
AC的方程为y=

1-cosθ

2sinθ

（x+1），
BD的方程为y=-

1+cosθ

2sinθ

（x-1），
将两式相乘得：y²=-

1-cos2θ

4sin2θ

（x²-1），
即x²+4y²=1
当点N恰为A或B时，四边形ABCD变为线段AB，这不符合题意，所以轨迹不能包括A、B两点，所以G的轨迹方程为x²+4y²=1，（-1＜x＜1）．

点评：本题考查直线和圆的方程的应用，关键在于建立适当的直角坐标系，求得直线DC、AC、BD的方程，消掉参数即可，易错点在于G的轨迹方程为x²+4y²=1，（-1＜x＜1），不是整个椭圆，属于难题．