Question

【题目】双流中学2016年高中毕业的大一学生假期参加社会实践活动，为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为元时，销售量可达到万套，现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10，假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价供货价格.问：

（1）每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？

（2）每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）每套丛书定价为100元时，销售量为万套，

此时每套供货价格为元，················· 3分

∴ 书商所获得的总利润为万元．·········· 4分

（Ⅱ）每套丛书售价定为元时，由得， ，··· 5分

依题意，单套丛书利润

·············· 7分

∴，

∵，∴，

由， ······· 10分

当且仅当，即时等号成立，此时

．

答：（Ⅰ）当每套丛书售价定为100元时，书商能获得总利润为340万元；（Ⅱ）每套丛书售价定为140元时，单套利润取得最大值100元．·························· 12分

（说明：学生未求出最大值不扣分）．

【解析】解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．

(2)每套丛书售价定为x元时，由

解得0<x<150.

依题意，单套丛书利润

P＝x－(30＋)＝x－－30，

∴P＝－[(150－x)＋]＋120.

∵0<x<150，∴150－x>0，

由(150－x)＋≥2＝2×10＝20，

当且仅当150－x＝，即x＝140时等号成立，此时，Pmax＝－20＋120＝100.

∴当每套丛书售价定为100元时，书商获得总利润为340万元，每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．