Question

12．在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且cos（B+C）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin2A．
（1）求A；
（2）设a=7，b=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知式子可得sinA，由锐角三角形可得；
（2）由正弦定理可得sinB，进而可得cosB，再由和差角的三角函数可得sinC，代入面积公式可得．

解答 解：（1）∵在锐角△ABC中cos（B+C）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin2A，
∴-cosA=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$•2sinAcosA，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A=$\frac{π}{3}$；
（2）由正弦定理可得sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{11}{14}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{11}{14}$+$\frac{1}{2}×\frac{5\sqrt{3}}{14}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×7×5×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=10$\sqrt{3}$

点评 本题考查正弦定理，涉及三角形的面积公式以及和差角的三角函数公式，属中档题．