Question

已知函数f（x）=（x²﹣3x+3）e^x，x∈[﹣2，t]（t＞﹣2）

（1）当t＜l时，求函数f（x）的单调区间；

（2）比较f（﹣2）与f （t）的大小，并加以证明；

（3）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间，设g（x）=f（x）+（x﹣2）e^x，试问函数g（x）在（1，+∞）上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=（x²﹣3x+3）e^x，x∈[﹣2，t]（t＞﹣2），

∴f′（x）=（2x﹣3）e^x+e^x（x²﹣3x+3）=e^xx（x﹣1）．

①当﹣2＜t≤0时，x∈（﹣2，t），f′（x）＞0，f（x）单调递增．

②当0＜t＜1时，x∈（﹣2，0），f′（x）＞0，f（x）单调递增．

x∈（0，t），f′（x）＜0，f（x）单调递减．

综上所述，当﹣2＜t≤0时，y=f（x）单调递增区间为（﹣2，t）；

当0＜t＜1时，y=f（x）单调递增区间为（﹣2，0），减区间为（0，t）．

（Ⅱ）f（t）＞f（﹣2）．

证明：令m=f（﹣2），n=f（t），则m=13e^﹣2，n=（t²﹣3t+3）e^t，

设h（t）=n﹣m=（t²﹣3t+3）e^t﹣13e^﹣2，

∴h′（t）=（2t﹣3）e^t+e^t（t²﹣3t+3）

=e^tt（t﹣1），（t＞﹣2）．

h（t），h′（t）随t变化如下表：

由上表知h（t）的极小值为h（1）=e﹣=＞0．

又h（﹣2）=0，

∴当t＞﹣2时，h（t）＞h（﹣2）＞0，即h（t）＞0．

因此，n﹣m＞0，即n＞m，

所以f（t）＞f（﹣2）．

φ（x），φ′（x）随x的变化如下表：

由上表知，φ（x₀）＜φ（1）=﹣1＜0，

φ（2）=e²﹣2＞0，

故y=φ（x）的大致图象如图，

因此φ（x）在（1，+∞）只能有一个零点，

这与φ（x）=0有两个大于1的不等根矛盾，

故不存在区间[a，b]满足题意，即函数g（x）不存在保值区间．