Question

已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为

1

2

的点的轨迹．
（1）求此曲线C的方程
（2）设P（x，y）为曲线C上任意一点，求

y

x-2

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设点M（x，y）是曲线上的任意一点，欲求出动点M的轨迹方程，只须求出x，y的关系式即可，结合距离的比，用坐标来表示距离，利用两点间的距离公式化简即可求得点P的轨迹方程．
（2）利用

y

x-2

的几何意义，转化为P（x，y）与定点（2，0）所连直线的斜率，故易求．

解答：解：（1）设曲线C上任意一点为M（x，y），由已知可得

x2+y2

(x-3)2+y2

=

1

2

两边平方并整理得(x+1)2+y2=4即为曲线C的方程
（2）

y

x-2

=

y-0

x-2

表示P(x，y)与定点(2，0)所连直线的斜率
而点P(x，y)在圆(x+1)2+y2=4上运动，易求得

y

x-2

的取值范围为[-

2 5

5

，

2 5

5

]

点评：本题考查轨迹方程，利用的是直接法，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．