Question

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，c是一元二次方程x²-7x+10=0的两根，且a＜b＜c，△ABC的面积为4．
（1）求a，b，c的值；
（2）求sinC的值．

Answer 1

分析 （1）利用a，c是一元二次方程x²-7x+10=0的两根，且a＜c，求出a，c，利用△ABC的面积为4，求出cosB，利用余弦定理求出b；
（2）利用余弦定理求出cosC，再求出sinC．

解答 解：（1）方程x²-7x+10=0，
分解得：（x-2）（x-5）=0，
解得：x=2或x=5，
∵a＜c，
∴a=2，c=5，
∵△ABC的面积为4，
∴$\frac{1}{2}×2×5×sinB$=4，
∴sinB=$\frac{4}{5}$，
∴cosB=$\frac{3}{5}$，
∴b=$\sqrt{4+25-2×2×5×\frac{3}{5}}$=$\sqrt{17}$；
（2）cosC=$\frac{4+17-25}{2×2×\sqrt{17}}$=-$\frac{1}{\sqrt{17}}$，
∴sinC=$\sqrt{1-\frac{1}{17}}$=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．