Question

如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=2，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上，
(1)证明：平面PAB⊥平面PCM；
(2)证明：线段PC的中点为球O的球心；
(3)若球O的表面积为20π，求二面角A-PB-C的平面角的余弦值．

Answer 1

(1)证明：∵AC=BC，M为AB的中点， ∴CM⊥AB， ∵PA⊥平面ABC，CM平面ABC， ∴PA⊥CM， ∵AB∩PA=A，AB平面PAB，PA平面PAB， ∴CM⊥平面PAB， ∵CM平面PCM， ∴平面PAB⊥平面PCM。
(2)证明：由(1)知CM⊥平面PAB， ∵PM平面PAB， ∴CM⊥PM， ∵PA⊥平面ABC，AC平面ABC， ∴PA⊥AC， 如图(1)，取PC的中点N，连接MN、AN， 在Rt△PAC中，点N为斜边PC的中点， ∴AN=PN=NC， 在Rt△PMC中，点N为斜边PC的中点， ∴MN=PN=NC， ∴PN=NC=AN=MN， ∴点N是球O的球心，即线段PC的中点为球O的球心． (3)解：依题意得4π·NC2=20π，解得， ∴， 作MD⊥PB，垂足为D，连接CD， 由(1)知CM⊥平面PAB， ∵PB平面PAB， ∴PB⊥CM， 又MD∩MC=M，∴PB⊥平面CMD， ∵CD平面CMD， ∴CD⊥PB， ∴∠CDM是二面角A-PB-C的平面角， 在Rt△PAB和Rt△MDB中， ， ∴， 在Rt△CMD中，， ∴， ∴二面角A-PB-C的平面角的余弦值是。