Question

已知向量

x

=（

3

，-1），

y

=（

1

2

，

3

2

），若存在实数k和t，使得

a

=

x

+（t²-3）

y

，

b

=-k

x

+t

y

，且

a

⊥

b

．
（1）试求函数关系式k=f（t）；
（2）若t＞0，且不等式f（t）＞mt²-t恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据向量数量积运算公式和模的，算出

|x|

=2，

|y|

=1且

x

•

y

=0，由此化简

a

•

b

=0的式子得4k+t（t²-3）=0，可得k=f（t）=

1

4

（t³-3t），即为所求函数关系式；
（2）由（1），化简得不等式f（t）＞mt²-t恒成立，即m＜

1

4

（t+

1

t

）在（0，+∞）上恒成立．结合基本不等式加以计算，可得m＜

1

2

恒成立，即得实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵

x

=（

3

，-1），

y

=（

1

2

，

3

2

），
∴

|x|

=

3+1

=2，

|y|

=

1 4 + 3 4

=1，

x

•

y

=0 
∵

a

=

x

+（t²-3）

y

，

b

=-k

x

+t

y

，且

a

⊥

b

．
∴

a

•

b

=-k

x

2+t（t²-3）

y

2=0，即4k+t（t²-3）=0，
∴t³-3t-4k=0，
可得k=f（t）=

1

4

（t³-3t），即为所求函数关系式；
（2）不等式f（t）＞mt²-t恒成立，
即

1

4

（t³-3t）＞mt²-t在（0，+∞）上恒成立
化简整理，得m＜

1

4

（t+

1

t

）在（0，+∞）上恒成立
∵t+

1

t

≥2

t• 1 t

=2，当且仅当t=1时，t+

1

t

达到最小值2
∴m＜

1

4

×2=

1

2

，
即满足对任意的t＞0，不等式f（t）＞mt²-t恒成立的m的取值范围为（-∞，

1

2

）

点评：本题给出向量的坐标，在向量互相垂直的情况下求函数的关系式并参数m的取值范围．着重考查了向量数量积的运算公式、向量的模和不等式恒成立等知识，属于中档题．