Question

已知向量

a

=(x2-3，1)，

b

=(x，-y)，（其中实数y和x不同时为零），当|x|＜2时，有

a

⊥

b

，当|x|≥2时，

a

∥

b

．
（1）求函数式y=f（x）；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）若对?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx²+x-3m≥0，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为当|x|＜2时，

a

⊥

b

得

a

•

b

=0得到y与x的关系式；当|x|≥2时，

a

∥

b

时，得到

-y

x

=

1

x2-3

，联立得到f（x）为分段函数；
（2）要求函数f（x）的单调递减区间即分区间令y'＜0求出x的范围即可；
（3）根据mx²+x-3m≥0解出m≥

x

3-x2

，分区间讨论x的范围得到f（x）的最大值，让m大于等于最大值即可求出m的范围．

解答：解：（1）当|x|＜2时，由

a

⊥

b

得

a

•

b

=(x2-3)x-y=0，y=x³-3x；（|x|＜2且x≠0）
当|x|≥2时，由

a

∥

b

．得y=-

x

x2-3

∴y=f(x)=

x3-3x，(-2＜x＜2且x≠0) x 3-x2 ．(x≥2或x≤-2)

（2）当|x|＜2且x≠0时，由y'=3x²-3＜0，
解得x∈（-1，0）∪（0，1），
当|x|≥2时，y′=

(3-x2)-x(-2x)

(3-x2)2

=

3+x2

(3-x2)2

＞0
∴函数f（x）的单调减区间为（-1，1）；
（3）对?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx²+x-3m≥0即m（x²-3）≥-x，
也就是m≥

x

3-x2

对?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）恒成立，
由（2）知当|x|≥2时，f′(x)=

(3-x2)-x(-2x)

(3-x2)2

=

3+x2

(3-x2)2

＞0
∴函数f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）都单调递增
又f(-2)=

-2

3-4

=2，f(2)=

2

3-4

=-2
当x≤-2时f(x)=

x

3-x2

＞0，
∴当x∈（-∞，-2]时，0＜f（x）≤2同理可得，当x≥2时，有-2≤f（x）＜0，
综上所述得，对x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），f（x）取得最大值2；
∴实数m的取值范围为m≥2．

点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，学会用数量积判断两个向量的垂直关系，理解平行向量及共线向量满足的条件，熟悉分段函数的解析式，理解函数恒成立时所取的条件．