Question

（2008•杨浦区二模）（理）已知向量

a

=(x2+1，-x)，

b

=(1，2

n2+1

) （n为正整数），函数f(x)=

a

• 

b

，设f（x）在（0，+∞）上取最小值时的自变量x取值为a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}，对任意正整数n，都有b_n•（4a_n²-5）=1成立，设S_n为数列{b_n}的前n项和，求

lim

n→∞

Sn；
（3）在点列A₁（1，a₁）、A₂（2，a₂）、A₃（3，a₃）、…、A_n（n，a_n）、…中是否存在两点A_i，A_j（i，j为正整数）使直线A_iA_j的斜率为1？若存在，则求出所有的数对（i，j）；若不存在，请你写出理由．

Answer 1

分析：（1）根据平面向量数量积的坐标公式，代入得f（x）=(x2+1)-2x

n 2+1

是一个关于x二次函数，其图象是开口向上抛物线，在对称轴处函数取到最小值，由二次函数对称轴方程，得到数列{a_n}的通项公式；
（2）根据（1）的结论，将an=

n2+1

代入b_n的表达式，得到bn=

1

2

[

1

2n-1

-

1

2n+1

]，用裂项的方法求出其前n项和S_n的表达式，最后可得其极限

lim

n→∞

Sn的值；
（3）对于这类问题，我们可以先假设存在满足条件的数对（i，j），然后再进行推理可得结论．具体作法：任取A_i、A_j（i、j∈N^*，i≠j），设A_iA_j 所在直线的斜率为k_ij，则 kij=

i+j

i2+1 + j2+1

＜1，从而得到不存在满足条件的数对（i，j），得出结论．

解答：解：（1）f（x）=(x2+1)-2x

n 2+1

…（2分）
函数y=f（x）的图象是一条抛物线，抛物线的顶点横坐标为x=

n2+1

＞0，
开口向上，在（0，+∞） 上，当x=

n2+1

时函数取得最小值，
所以an=

n2+1

；…（4分）
（2）将（1）中{a_n}的表达式代入，得bn=

1

4(n2+1)-5

=

1

4n2-1

=

1

(2n+1)(2n-1)

=

1

2

[

1

2n-1

-

1

2n+1

]．…（6分）
∴Sn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]，…（8分）
所以所求的极限为：

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

1

2

(1-

1

2n+1

)=

1

2

；…（10分）
（3）任取A_i、A_j（i、j∈N^*，i≠j），设A_iA_j 所在直线的斜率为k_ij，
则 kij=

ai-aj

i-j

=

i2+1 - j2+1

i-j

=

i2-j2

(i-j)( i2+1 + j2+1)

=

i+j

i2+1 + j2+1

＜1．
因此不存在满足条件的数对（i，j），使直线A_iA_j的斜率为1．…（16分）

点评：本题综合了数列与向量、数列与函数以及数列的极限等知识点，是一道难题．对思维的要求较高，考查了转化化归和函数与方程的数学思想．