Question

（2008•杨浦区二模）（文）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C₁的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）得到曲线C₂的方程F（λx，λy）=0，则称曲线C₁、C₂关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．
（1）已知曲线C₁的方程为

x2

9

-

y2

4

=1，伸缩比λ=2，求C₁关于原点“伸缩变换”后所得曲线C₂的方程；

（2）已知抛物线C₁：y²=2x，经过伸缩变换后得抛物线C₂：y²=32x，求伸缩比λ．
（3）射线l的方程y=

2

2

x(x≥0)，如果椭圆C₁：

x2

16

+

y2

4

=1经“伸缩变换”后得到椭圆C₂，若射线l与椭圆C₁、C₂分别交于两点A、B，且|AB|=

2

，求椭圆C₂的方程．

Answer 1

分析：（1）曲线C₁的方程为

x2

9

-

y2

4

=1，伸缩比λ=2，根据“伸缩变换”后所得曲线C₂的方程；
（2）抛物线C₁：y²=2x，经过伸缩变换后得抛物线C₂：λ²y²=λx，⇒y²=

1

λ

x对照方程得出λ即可；
（3）根据C₂、C₁关于原点“伸缩变换”，对C₁作变换（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），解方程组结合弦长公式得出关于λ的方程，解得λ，最后写出椭圆C₂的方程即得．

解答：解：（1）曲线C₁的方程为

x2

9

-

y2

4

=1，伸缩比λ=2，
∴C₁关于原点“伸缩变换”后所得曲线C₂的方程为：

4x2

9

-

4y2

4

=1，即

4x2

9

-

y2

1

=1；
（2）抛物线C₁：y²=2x，经过伸缩变换后得抛物线C₂：λ²y²=λx，⇒y²=

1

λ

x

1

λ

=32，⇒则伸缩比λ=

1

32

；
（3）∵C₂、C₁关于原点“伸缩变换”，对C₁作变换（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），
得到C₂

λ2x2

16

+

λ2y2

4

=1，（12分）
解方程组

y= 2 2 x (x≥0) x2 16 + y2 4 =1

得点A的坐标为(

4 3

3

，

2 6

3

)（14分）
解方程组

y= 2 2 x (x≥0) λ2x2 16 + λ2y2 4 =1

得点B的坐标为(

4 3

3λ

，

2 6

3λ

)（15分）
|AB|=

( 4 3 3λ - 4 3 3 )2+( 2 6 3λ - 2 6 3 )2

=

2 2 |λ-1|

|λ|

=

2

，
化简后得3λ²-8λ+4=0，解得λ1=2，λ2=

2

3

，
因此椭圆C₂的方程为

x2

4

+y2=1或

x2

36

+

y2

9

=1．（18分）（漏写一个方程扣2分）

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想．属于基础题．