Question

（2008•杨浦区二模）（文）已知向量

a

=(x2+1，-x)，

b

=(1，2

n2+1

) （n为正整数），函数f(x)=

a

• 

b

，设f（x）在（0，+∞）上取最小值时的自变量x取值为a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}，其中b_n=a_n+1²-a_n²，设S_n为数列{b_n}的前n项和，求

lim

n→∞

Sn

C 2 n

；
（3）已知点列A₁（1，a₁²）、A₂（2，a₂²）、A₃（3，a₃²）、…、A_n（n，a_n²）、…，设过任意两点A_i，A_j（i，j为正整数）的直线斜率为k_ij，当i=2008，j=2010时，求直线A_iA_j的斜率．

Answer 1

分析：（1）先根据向量的数量积求出f（x）的解析式，再求出f（x）在（0，+∞）上取最小值时的自变量x即可得到数列{a_n}的通项公式；
（2）先求出数列{b_n}通项公式；进而求出前n项和S_n，代入所求

lim

n→∞

Sn

C 2 n

整理即可得到结论；
（3）先根据条件得到A₂₀₀₈（2008，a₂₀₀₈²），A₂₀₁₀（2010，2010_n²），再代入斜率的计算公式即可得到结论．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

= (x2+1，-x)• (1，2

n2+1

)=x²-2

n2+1

x+1（2分）
抛物线的顶点横坐标为x=

n2+1

＞0，
开口向上，在（0，+∞）上当x=

n2+1

时函数取得最小值，所以an=

n2+1

；（4分）
（2）∵b_n=a_n+1²-a_n²=（n+1）²+1-（n²+1）=2n+1．
是首项为3，公差为2的等差数列，
所以：S_n=

n(3+2n+1)

2

=n²+2n；
∴

Sn

c 2 n

=

n2+2n

n(n-1) 2

=

2n+4

n-1

=

2+ 4 n

1- 1 n

．
∴

lim

n→∞

Sn

C 2 n

=2．
（3）∵A₂₀₀₈（2008，a₂₀₀₈²），A₂₀₁₀（2010，2010_n²），
∴k=

a20102-a20082

2010-2008

=

20102+1-(20082+1)

2010-2008

=4018．

点评：本题是对数列知识与函数知识的综合考查．本题涉及到的知识比较多，有数列的极限，数列的求和，二次函数的最值等．考查计算能仪以及分析能力．