Question

将直线y=-5x+15绕着它与x轴的交点按逆时针方向旋转θ角后，恰好与圆x²+y²+4x+2y-8=0相切，求旋转角θ的最小值．

Answer 1

分析：令直线y=-5x+15中的y=0，求出x的值，得到直线与x轴交点P的坐标，然后把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径r，显然切线方程的斜率存在，又过P点，设出切线的斜率，表示出切线方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，由直线与圆相切可得d=r，进而列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，再由直线y=-5x+15的斜率为-5，根据到角的公式求出tanθ的值，利用特殊角的三角函数值即可求出旋转角θ的最小值．

解答：解：令直线y=-5x+15中y=0，解得：x=3，
∴直线与x轴的交点为P（3，0），
把已知圆化为标准方程得：（x+2）²+（y+1）²=13，
∴圆心C（-2，-1），半径为r=

13

，…（4分）
显然切线存在斜率，
∴设切线方程为y=k（x-3），即kx-y-3k=0，
由圆心到切线的距离等于半径可知：

|5k-1|

1+k2

=

13

，
整理得：（5k-1）²=13（1+k²），即（3k+2）（2k-3）=0，
解得：k=-

2

3

或k=

3

2

，
由题设逆时针旋转可知应取k=-

2

3

，…（8分）
∴由到角公式知tanθ=

- 2 3 +5

1+ 10 3

=1，
则故旋转角θ的最小值为

π

4

．…（12分）

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，圆的标准方程，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，到角公式，以及特殊角的三角函数值，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．