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已知坐标平面上点M(x,y)与两个定点M1(26,1),M2(2,1)的距离之比等于5.
(1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;
(2)记(1)中的轨迹为C,过点A(-2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8,求直线l的方程.
【答案】分析:(1)直接利用距离的比,列出方程即可求点M的轨迹方程,然后说明轨迹是什么图形;
(2)设出直线方程,利用圆心到直线的距离,半径与半弦长满足的勾股定理,求出直线l的方程.
解答:解:(1)由题意坐标平面上点M(x,y)与两个定点M1(26,1),M2(2,1)的距离之比等于5,
=5.,化简得x2+y2-2x-2y-23=0.
即(x-1)2+(y-1)2=25.
∴点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25,
所求轨迹是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆.
(2)当直线l的斜率不存在时,过点A(-2,3)的直线l:x=-2,
此时过点A(-2,3)的直线l被圆所截得的线段的长为:2=8,
∴l:x=-2符合题意.
当直线l的斜率存在时,设过点A(-2,3)的直线l的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,
圆心到l的距离d=
由题意,得+42=52,解得k=.∴直线l的方程为x-y+=0.即5x-12y+46=0.
综上,直线l的方程为x=-2,或5x-12y+46=0.
点评:本题考查曲线轨迹方程的求法,直线与圆的位置关系的应用,考查计算能力.
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