Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2，且a_n+1=2-，n∈N^*．
（1）设b_n=，求证：{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设c_n=a_n+，求证：2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+1，n∈N^*．

Answer 1

解：（1）∵a₁=2，且a_n+1=2-，n∈N^*．
∴a₂=2-，
，
，
…
猜想．
用数学归纳法进行证明：
①，成立．
②假设n=k时，成立，即，
则当n=k+1时，=2-=，成立．
由①②知，．
∵b_n=，
∴b_n+1-b_n=
=-
=-
=（n+1）-n=1，
∴数列{b_n}是等差数列．
（2））∵a₁=2，且a_n+1=2-，n∈N^*．
∴a₂=2-，
，
，
…
猜想．
用数学归纳法进行证明：
①，成立．
②假设n=k时，成立，即，
则当n=k+1时，=2-=，成立．
由①②知，．
（3）∵c_n=a_n+，，
∴，
∴c₁+c₂+…+c_n=2n+（1-）+（）+…+（）
=2n+1-＜2n+1．
∵c₁+c₂+…+c_n=2n+（1-）+（）+…+（）
=2n+1-=2n+＞2n．
∴2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+1，n∈N^*．
分析：（1）由a₁=2，且a_n+1=2-，n∈N^*，知．由b_n=，知b_n+1-b_n==-=1，故数列{b_n}是等差数列．
（2））a₁=2，且a_n+1=2-，n∈N^*．知a₂=2-，，，…猜想．用数学归纳法进行证明，得到．
（3）由c_n=a_n+，，知，故c₁+c₂+…+c_n=2n+（1-）+（）+…+（）=2n+1-2n+，由此知2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+1，n∈N^*．
点评：本题考查等差数列的证明，通项公式的求法和前n项和的证明，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．