Question

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程的两根，且a₁=1
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）设函数，若f（n）＞0对任意的n∈N^*都成立，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿ•x+b_n=0（n∈N^*）的两实根，可得a_n+a_n+1=2ⁿ，整理变形可得数列是等比数列；
（2）确定数列的同学，分组求和，可得结论；
（3）关键b_n=a_n•a_n+1，b_n-tS_n＞0，可得不等式，分类讨论，可求t的取值范围．
解答：（1）证明：∵a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿ•x+b_n=0（n∈N^*）的两实根，
∴a_n+a_n+1=2ⁿ，∴
∴
∴数列是等比数列；
（2）解：∵a₁=1，∴
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n
=；
（3）解：∵b_n=a_n•a_n+1，∴
∵b_n-tS_n＞0，∴
∴当n为奇数时，，∵n为奇数，∴t＜1；
当n为偶数时，，∴
∴t＜对任意正偶数n都成立，∴t＜
综上所述，t的取值范围为t＜1．
点评：本题主要考查等比关系的确定、数列的求和、不等式的解法、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．