Question

已知数列{a_n}的通项为a_n=（2n-1）•2ⁿ，求其前n项和S_n时，我们用错位相减法，即
由S_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ得2S_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
两式相减得-S_n=2+2•2²+2•2³+…+2•2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
求出S_n=2-（2-2n）•2ⁿ⁺¹．类比推广以上方法，若数列{b_n}的通项为b_n=n²•2ⁿ，则其前n项和T_n=

（n²-2n+3）•2ⁿ⁺¹-6

．

Answer 1

分析：类比题设中“错位相减法”，先得出T_n=1×2+4×2²+9×2³+…n²•2ⁿ及两边同乘2后得2T_n=1×2²+4×2³+9×2⁴+…n²•2ⁿ⁺¹再两式相减，正好求得T_n=-S_n+n²•2ⁿ⁺¹进而得到答案．

解答：解：T_n=1×2+4×2²+9×2³+…n²•2ⁿ
∴2T_n=1×2²+4×2³+9×2⁴+…n²•2ⁿ⁺¹
∴-T_n=1×2+3×2²+5×2³+…（2n-1）2ⁿ-n²•2ⁿ⁺¹
即T_n=-S_n+n²•2ⁿ⁺¹=（n²-2n+3）•2ⁿ⁺¹-6
故答案为：（n²-2n+3）•2ⁿ⁺¹-6．

点评：本题主要考查类比推理、数列的求和问题，错位相减法是解决数列求和问题常用的方法，应熟练掌握．