Question

（12分）已知椭圆，直线l与椭圆交于A、B两点，M是线段AB的中点，连接OM并延长交椭圆于点C．直线AB与直线OM的斜率分别为k、m，且．

   （Ⅰ）求的值；

   （Ⅱ）若直线AB经过椭圆的右焦点F，问：对于任意给定的不等于零的实数k，是否存在a∈，使得四边形OACB是平行四边形，请证明你的结论；

 

Answer 1

【答案】

 

(1)

(2) 当且时，存在a∈[2，+∞]，使得四边形OACB是平行四边形；

当或时，不存在a∈[2，+∞]，使得四边形OACB是平行四边形

【解析】解：（Ⅰ）解法一：设，,，

则，两式相减，得：，

又，，∴，

又∵，∴，∴…4分

解法二：设直线AB的方程为y=kx+n，代入椭圆方程得

 ，设，,，

则，∴，，

∴，又∴，∴        ……4分

（Ⅱ）设C(xC，yC)，直线AB的方程为y=k(x-c)(k≠0)，代入椭圆方程，

得 ，若OACB是平行四边形，则 ，

∴，，

∵C在椭圆上 ∴ ∴，

∴ ，∴ ∴ ，

∵ ，a∈[2，+∞] ，∴ ，∴且，

∴当且时，存在a∈[2，+∞]，使得四边形OACB是平行四边形；

当或时，不存在a∈[2，+∞]，使得四边形OACB是平行四边形。……12分