Question

如图，已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一条准线方程是x=

25

4

，其左、右顶点分别是A、B；双曲线C2：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一条渐近线方程为3x-5y=0．
（1）求椭圆C₁的方程及双曲线C₂的方程；
（2）在第一象限内取双曲线C₂上一点P，直线AP、PB分别交椭圆C₁于点M、点N，若△AMN与△PMN的面积相等．①求P点的坐标 ②求证：

MN

•

AB

=0．

Answer 1

分析：（1）由已知

a2 c = 25 4 b a = 3 5 a2=b2+c2

，解即可；
（2）①由（1）A（-5，0），B（5，0），设M（x₀，y₀），利用△AMN与△PMN的面积相等，可得M为AP的中点．于是得到P点坐标为（2x₀+5，2y₀），把M、P坐标代入c₁、c₂方程即可解得；
②当P为（10，3

3

)时，利用点斜式得到PB：y=

3 3

10-5

(x-5)，与椭圆方程联立即可解得点N的坐标，只要与点M的横坐标线段即可．

解答：解：（1）由已知

a2 c = 25 4 b a = 3 5 a2=b2+c2

，解得

a=5 b=3 c=4

．
∴椭圆的方程为

x2

25

+

y2

9

=1，双曲线的方程

x2

25

-

y2

9

=1．
（2）①由（1）A（-5，0），B（5，0），设M（x₀，y₀），
∵△AMN与△PMN的面积相等，∴M为AP的中点．
∴P点坐标为（2x₀+5，2y₀），
把M、P坐标代入c₁、c₂方程得

x 2 0 25 + y 2 0 9 =1 (2x0+5) 25 - y 2 0 9 =1

消去y₀得2

x

2 0

+5x0-25=0，解之得x0=

5

2

或x0=-5(舍)
由此可得P（10，3

3

)．
②证明：当P为（10，3

3

)时，PB：y=

3 3

10-5

(x-5)，即y=

3 3

5

(x-5)．
代入

x2

25

+

y2

9

=1得：2x2-15x+25=0，x=

5

2

或5(舍)，
∴xN=

5

2

，∴x_N=x_M
∴MN⊥x轴．  即

MN

•

AB

=0．

点评：熟练掌握椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得出交点的坐标、中点坐标公式、直线垂直与数量积的关系等是解题的关键．