Question

已知不等式-1＜

ax-1

x-1

＜1的解集是{x|-2＜x＜0}，求a的值．

Answer 1

分析：法一：利用不等式转化为二次不等式求解即可．
法二：不等式转化为分式不等式组，然后求解．
法三：转化不等式组，通过对a的讨论，直接求解不等式的解集即可．

解答：法一：解：原是等价于

(ax-1)2

(x-1)2

＜1?(ax-1)2＜(x-1)2，(x≠1)
?（a²-1）x²-2（a-1）x＜0…（6分）
由解集{x|-2＜x＜0}知
方程（a²-1）x²-2（a-1）x=0的两根分别为-2和0，…（4分）
故（a²-1）（-2）²-2（a-1）（-2）=0且a²-1＞0     解之得：a=-2   …（2分）
法二：原不等式等价于

ax-1 x-1 ＞-1 ax-1 x-1 ＜1 -2＜x＜0

（3分）
⇒

ax-1＜-x+1 ax-1＞x-1 -2＜x＜0

⇒

(a-1)x＜2 (a-1)x＞0 -2＜x＜0

（3分）
⇒

a＜-1 2 a+1 =-2

（2分）
⇒a=-2（1分）
法三：-1＜

ax-1

x-1

＜1⇒

(a-1)x(x-1)＜0 [(a+1)x-2](x-1)＞0

（1分）
（1）当a=1时，不等式组无解；（2分）
（2）当a=-1时，

x＞1或x＜0 x＜1

⇒x＜0不符；（2分）
（3）当a＞1时

0＜x＜1 x＞1或x＜ 2 a+1

⇒0＜x＜

2

a+1

不符；（2分）
（4）当-1＜a＜1时

x＞1或x＜0 x＜1或x＞ 2 a+1

⇒x＜0或x＞

2

a+1

不符；（2分）
（5）当a＜-1时

x＞1或x＜0 2 a+1 ＜x＜1

⇒

2

a+1

＜a＜0，（2分）
∴

2

a+1

=-2，即a=-2．（1分）
（注：法1和法3作为基本思路）

点评：本题考查不等式的求法，转化思想的应用，考查计算能力．