Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=BC=1，AA₁=2，D是AA₁的中点．
（Ⅰ）求异面直线A₁C₁与B₁D所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角C-B₁D-B的大小；
（Ⅲ）在B₁C上是否存在一点E，使得DE∥平面ABC？若存在，求出

B1E

EC

的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以B为原点，BC、BA、BB₁分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，再求得相关向量的坐标，最后利用夹角公式求解．
（Ⅱ）直三棱柱的结构特征，得到B₁B⊥BC，再由AB⊥BC，得到BC⊥平面ABB₁D．从而有BD⊥B₁D，所以BD是CD在平面ABB₁D内的射影，∠CDB为二面角C-B₁D-B的平面角．
（Ⅲ）由D为中点，则设E为B₁C的中点，G为BC的中点，有EG∥BB₁，再由EG=

1

2

BB1，AD∥BB₁，且AD=

1

2

BB1，得到四边形ADEG为平行四边形，从而有DE∥AG，从而有DE∥平面ABC结论．

解答：解：（Ⅰ）如图，以B为原点，BC、BA、BB₁分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则B（0，0，0），C（1，0，0），A（0，1，0），
B₁（0，0，2），C₁（1，0，2），A₁（0，1，2），D（0，1，1），
∵

A1C1

=(1，-1，0)， 

B1D

=(0，1，-1)，
∴cos＜

A1C1

， 

B1D

＞=

A1C1 • B1D

| A1C1 |•| B1D |

=-

1

2

，
∴异面直线A₁C₁与B₁D所成的角为60°．

（Ⅱ）解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴B₁B⊥BC，
又AB⊥BC，AB∩BB₁=B，∴BC⊥平面ABB₁D．
如图，连接BD，
在△BB₁D中，∵BD=B1D=

2

， BB1=2，
∴BD²+B₁D²=BB₁²，即BD⊥B₁D，
∵BD是CD在平面ABB₁D内的射影，
∴CD⊥B₁D，∴∠CDB为二面角C-B₁D-B的平面角．
∵

DC

=(1，-1，-1)， 

DB

=(0，-1，-1)，
∴cos∠CDB=

DC • DB

| DC |•| DB |

=

6

3

，
∴二面角C-B₁D-B的大小为arccos

6

3

；

（Ⅲ）答：在B₁C上存在一点E，使得DE∥平面ABC，此时

B1E

EC

=1．
以下给出证明过程．
证明：如图，设E为B₁C的中点，G为BC的中点，连接EG，AG，ED，
在△BCB₁中，∵BG=GC，B₁E=EC，∴EG∥BB₁，且EG=

1

2

BB1，
又AD∥BB₁，且AD=

1

2

BB1，
∴EG∥AD，EG=AD，
∴四边形ADEG为平行四边形，∴DE∥AG，
又AG?平面ABC，DE?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．

点评：本题主要考查用向量法求线面角、二面角以及线线、线面与面面平行与垂直关系的转化，综合性较强．