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设M是△ABC内一点,且
AB
AC
=4
3
,∠BAC=30°
,定义f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分别是△MBC,△MCA,△MAB的面积,若f(M)=(1,x,y),则
1
x
+
4
y
的最小值
(  )
分析:利用数量积即可得出三角形ABC的面积和x与y的关系式,再利用基本不等式即可得出.
解答:解:∵
AB
AC
=4
3
,∠BAC=30°

∴cbcos30°=4
3
,∴bc=8.
∴S△ABC=
1
2
bcsin30°
=2,
∴1+x+y=2,
∴x+y=1,
1
x
+
4
y
=(x+y)(
1
x
+
4
y
)=5+
y
x
+
4x
y
≥5+2
y
x
4x
y
=9,
当且仅当
y
x
=
4x
y
时,取等号,
1
x
+
4
y
的最小值是9.
故选C.
点评:本题考查三角形面积的计算,考查基本不等式的运用,熟练掌握三角形的面积计算公式、数量积运算和基本不等式是解题的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设M是△ABC内一点,且△ABC的面积为1,定义f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分别是△MBC,△MCA,△MAB的面积,若f(M)=(
1
2
,x,y),则
1
x
+
4
y
的最小值是(  )
A、8B、9C、16D、18

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科目:高中数学 来源: 题型:

设M是△ABC内一点,且
AB
AC
=2
3
,∠BAC=30°,定义f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分别是△MBC,△MCA,△MAB的面积,若f(P)=(
1
2
,x,y)则
1
x
+
4
y
的最小值(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2008•上海模拟)设M是△ABC内一点,且
AB
AC
=2
3
,∠BAC=30°
,定义f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分别是△MBC,△MCA,△MAB的面积,若f(M)=(
1
2
,x,y),则
1
x
+
4
y
的最小值是
18
18

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科目:高中数学 来源: 题型:

设M是△ABC内一点,
AB
AC
=2
3
,∠BAC=30°
,定义f(x)=(m,n,p),其中m,n,p分别是△MBC,△MAC,△MAB的面积,若f(Q)=(
1
2
,x,y)
1
x
+
4
y
=a , 则
a2+2
a
的取值范围是
[
163
9
,+∞
[
163
9
,+∞

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