Question

已知y=2x²-2ax+3在区间[-1，1]上的最小值是f（a），试求f（a）的解析式，并说明当a∈[-2，1]时，g(a)=log

1

2

f(a)的单调性．

Answer 1

分析：本题要先求出函数的对称轴，由对称轴与区间的位置关系确定出最小值在何处取到，分段求出最小值，最后用分段的形式表示出f（a）的解析式，根据所求的解析式由复合函数的单调性判断规则得出a∈[-2，1]时，g(a)=log

1

2

f(a)的单调性即可．

解答：解：y=2x²-2ax+3的对称轴是x=

a

2

，
当

a

2

＜-1时，即a∈（-∞，-2）时，y=2x²-2ax+3在区间[-1，1]上是增函数，故f（a）=f（-1）=5+2a
当

a

2

∈[-1，1]，即a∈[-2，2]，y=2x²-2ax+3在区间[-1，1]上先减后增，故f（a）=f（

a

2

）=3-

a 2

2

当

a

2

＞1，即a∈（2，+∞）时，y=2x²-2ax+3在区间[-1，1]上是减函数，故f（a）=f（1）=5-2a
 故f（a）=

5+2a  a∈(-∞，-2) 3- a2 2  a∈[-2，2] 5-2a  ，a∈(2，+∞)

当a∈[-2，1]时，f（a）=f（

a

2

）=3-

a 2

2

，函数在[-2，0]上是增函数，在[0，1]是减函数，
a∈[-2，1]时，g(a)=log

1

2

f(a)，外层函数是减函数，由复合函数单调性判断规则知
g(a)=log

1

2

f(a)在[-2，0]上是减函数，在[0，1]是增函数．

点评：本题考点是复合函数的单调性，用分类讨论的方法研究函数在闭区间上的最值问题，再由复合函数的单调性判断函数在闭区间上的单调性问题，本题综合考查了复合函数单调性的判断规则，综合性较强．